偏微分方程式の初歩

12月中旬に急遽対面からオンラインに切り替わった後期授業ですが、オンデマンド講義動画の撮影が明日で終了予定ですので、ようやくメドが付きました。その中で最後まで残ったのが「応用数学」というラプラス変換、フーリエ級数、偏微分方程式の初歩を扱う学部2年次の選択科目です。

1月3コマ分の偏微分方程式入門をどのような内容にするか非常に悩みましたが「1次元波動方程式」「1次元熱伝導（拡散）方程式」「2次元ラプラス方程式」の混合問題（初期条件+境界条件）をそれぞれ1コマずつとし、変数分離の条件下で常微分方程式の解の重ね合わせの公式を適用し、フーリエ正弦級数に持ち込んで解く方法にしました。もっとも、波動方程式はダランベールの解という有名な解法も紹介しましたが（マニアックな投稿ですみません）。

私自身が初めてで知識も乏しいため、教科書の行間を埋めるいわゆる冗長！な板書になってしまい、1コマで2問しか解説できませんでした。ビデオを視聴した受講生が数学嫌いにならなければよいのですが…ラプラス変換やフーリエ級数も、デルタ関数やルベーグ積分の概念が時折顔を見せることがあり、難しいですね。